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第716章 无缝的实数轴（第3页）

那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。

于是，通过定义集合A和B的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。

用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。

在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性中。

他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷小的区间。

归根结底，这些看起来无穷小的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大小的点。

虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。

“因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”

“因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数。”

“一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”

“第一，左边的A集合有最大元素，右边的B集合没有最小元素。”

“这就说明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数pq所代表的点上，并且这个点位于左集A之中。”

“如此数轴就被分成了两部分，比如（-∞，2】，（2，+∞）。”

“数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集B中。”

“所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集B有最小元素。”

“这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”

“除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集B也没有最小元素。”

“这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”

“用有理数进行分割，如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数。”

“由此就从有理数扩展到了实数。”

说到这里，李恒又抬手在阿基里斯的肩膀上贴上了第四个小便签“戴德金分割”。

前三张便签纸上分别写着“一一对应、基数”，“有序排列、序数”、“排中律”的字样。

“再次回到之前解释过的0。9……=1的问题，用戴德金分割就能证明这一结论。”

“0。9……是一个十进制无穷小数，它和1是数轴上同一个点代表的数的不同写法。”

“所有的无限小数已经填满了整条实数轴，再也没有其他数字的位置。”

“与戴德金分割对实数的定义等价，康托尔用无穷序列来定义数轴上的数。”

“一个有理数的无穷序列，如果任意两个相邻项的差越趋于0，那么这个有理数序列就是一个实数。”

“康托尔将这称为一个基本序列。”

“任何有理数序列的收敛等同于它可表示为一个无穷的十进制小数。”

“这种定义下的系统是封闭的，也就是说，用有理数定义的实数去组成实数序列，得到的极限仍是实数。”

“1。00……和0。99……，这两个不同的基本序列极限是一样的，定义了数轴上的同一个实数。”

“也正是因此，类似于ω这样不是0也不是后继序数的超穷序数被称为极限序数。”

“它们本就来自于表示无理数的基本序列，源于微积分中的极限，没有最后一位的概念。”

“嗯，前置基础总算是说的差不多了。”

李恒抬手打了个响指，两人来到了一间幽暗老旧的精神病院外面。

“有了无缝的实数轴和实数的基本定义，接下来就可以开始研究连续统了。”