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第717章 可数无穷不可数无穷（第3页）

“每一个有理数可以表示为pq的形式，简单起见，只选择正有理数，对于无穷集合这种处理不会影响结果。”

康特尔首先将这些有理数排列成一个二维矩阵的形式。

第一行是所有p1形式的有理数，也就是所有的整数。

第二行是所有p2形式的有理数，第三行是所有p3形式的有理数，以此类推。

然后在这张二维矩阵上画了一条Z字形的线，将矩阵上列出的所有有理数排列成一行。

1，2，12，13，22，3，4，32，23，14，15，24，33，42，5，6……

将这个有理数序列中所有重复的非最简形式分数去掉，得到一个有理数序列：

1，2，12，13，3，4，32，23，14，15，……

所有的有理数完成了可数化，能够与自然数集合完成一一对应。

因此，看似无穷稠密的有理数的数量与自然数相等，依旧是N0。

阿基里斯咀嚼着口中的红枣，她汲取着其中的信息，接着有些惊讶地问道：

“就算加入了比有理数多得多的无理数，额，这里把它们叫做无理代数数，依旧还是可数无穷？”

她在这颗红枣里看到了一个名为刘维尔的数学家做的有关于代数数和超越数的证明。

一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，就把它称为代数数。

根号2是代数数，因为它是整系数二次方程x^2-2=0的一个解。

有理数就是一次整系数方程的解，代数数代表着有理数的扩充。

刘维尔不等式是一个有关于无理代数数和有理数的不等式。

通俗来说，这个不等式表明有理数作为无理代数数的邻居，其数量少得可怜。

“没错，无理数之间也是不一样的。”

“如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”

李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。

“所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的超越数。”

“说回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”

首先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。

①X1。a1a2a3……

②X2。b1b2b3……

③X3。c1c2c3……

通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限小数的数表。

想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。

这种方法被称为对角线证明。

令一个实数R的小数部分为（a1-1），（b2-1），（c3-1）……当0-1时令其为9。

这个实数R小数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，小数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。

以此类推，实数R小数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。

这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的小数来自列表中全体实数的一条对角线上。