书看迷

第718章 希尔伯特第一问（第5页）

“嗯，墓碑。”

李恒走到墓碑前，将手中那片从康托尔的枣树上取下的绿叶放到墓碑前。

阿基里斯微微眯起眼睛，她发现绿叶上写着两句新的文字。

『我们必须知道，我们必将知道。』

这是希尔伯特的名言，以此作为对那些信奉不可知论之人的反击。

他认为每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答：

或者给所提问题以实际的肯定答案；或者证明问题是不可能的，因此所有企图证明它成立的努力必然失败。

所有的数学问题或者为真，或者为假，不存在其他情况。

李恒看向阿基里斯肩膀上写着“排中律”字样的便签。

“在数学中有两种证明，一种叫做构造性证明，它会给出具体的例证。”

“另一种则叫做非构造性证明，或者称作存在性证明，它所使用的规则就是排中律。”

“希尔伯特就是非构造性证明的大师。”

“利用排中律和反证法，即使并不知道具体的对象到底是什么，也能证明它存在。”

“连续统问题的本质就与排中律有关。”

“戴德金分割用有理数分割定义实数，并没有给定一些得以构造出集合A和B的数学规则。”

“『如果数轴可以划分为A和B』，却没有给出任何可以实际构造出这些集合的方法或程序。”

“无论如何，这些集合实际上是不可构造或验证的。”

“不仅如此，康托尔证明实数集1等等集合是不可数无穷时使用的也是反证法，依赖于排中律。”

阿基里斯从那写着“我们必须知道，我们必将知道”的叶片上收回目光，看向自己肩膀上贴着的便签。

“排中律有问题？”

在不可数无穷上遇到的困难似乎就是源于排中律。

一个数学命题为真，或者为假，这应该是理所当然的。

“没错，排中律就是第三次数学危机的源头。”

“更深入的说，是排中律隐藏着的人类最基础的逻辑问题。”

李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：

“说谎者悖论、上帝全能悖论、理发师悖论等等。”

“这些悖论的本质都是自我指涉问题。”

“『我说的这句话是谎话』，这句话是真是假？”

如果说的是真话，这句话就是谎话。

如果说的是谎话，那么这句话就是真话。

这个古老的逻辑悖论就是第三次数学危机的根源。

它在康托尔的朴素集合论中被放大，成为了一个必须解决的问题。